Հարթաչափություն

Հարթաչափություն, երկրաչափության բաժին է, որն ուսումնասիրում է մեկ հարթության պատկանող պատկերների (հարթ պատկերներ) հատկությունները։ 

Եռանկյուն

Եռանկյան տեսակներ

Կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, եռանկյունները լինում են ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (բոլոր երեք անկյունները սուր են),

հավասարակողմ կամ կանոնավոր (բոլոր երեք կողմերն իրար հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմերը)։

	Ուղղանկյուն եռանկյուն

Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկն ուղիղ է կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն:

Ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, մյուս կողմերը` էջեր:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:

Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի  կեսին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված միջնագիծը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:

(Պյութագորասի թեորեմ) Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին:

Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնը ներքնաձիգի միջնակետն է, իսկ շառավիղը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին:

Հավասարակողմ եռանկյուն

Եռանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են կոչվում է հավասարակողմ կամ  կանոնավոր եռանկյուն:

Հավասարակողմ եռանկյան անկյունները 60° են:

Հավասարակողմ եռանկյան նույն կողմին տարված միջնագիծը, կիսորդն ու բարձրությունը համընկնում են:

Հավասարասրուն եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են:

Հավասար կողմերը կոչվում են սրունքներ, երրորդ կողմը` հիմք:

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

Եթե հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից որևէ մեկը 60° է, ապա այդ եռանկյունը հավասարակողմ եռանկյուն է:

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը, կիսորդն ու միջնագիծը համընկնում են:

Եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է:

Եռանկյան գագաթից տարված բարձրություն է կոչվում այդ գագաթից նրա դիմացի կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահացը։

Եռանկյան բարձրությունները կամ նրանց շարունակությունները հատվում են մի կետում:

Եռանկյան գագաթից տարված կիսորդ է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։

Եռանկյան անկյան կիսորդը դիմացի կողմը բաժանում է կից կողմերին համեմատական մասերի: 

 Եռանկյան կիսորդները հատվում են մի կետում:

Եռանկյան կիսորդների հատման կետը եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է:

Եռանկյան միջնագիծ է կոչվում այդ գագաթը և դիմացի կողմի միջնակետը միացնող հատվածը։

Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ, հաշված գագաթից:

Եռանկյունն իր միջնագծով բաժանվում է երկու հավասարամեծ եռանկյունների:

Եռանկյան միջին գիծ է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը։

Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար է այդ կողմի կեսին:

Եռանկյան միջին գիծը եռանկյունը բաժանում է մասերի, որոնց մակերեսների հարաբերությունը 3 է:

Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են մի կետում:

Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնն է:

Եռանկյունների հավասարություն

Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համապատասխան կողմերն ու համապատասխան անկյունները։

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները՝

·        Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

·        Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

·        Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

Եռանկյունների նմանություն

Եռանկյունները նման են, եթե այդ եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են, իսկ համապատասխան կողմերի հարաբերությունը նույնն է։ Այսինքն ∆ABC և ∆A₁B₁C₁ նման եռանկյունների միջև

 =  = , ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁։

Եռանկյունների նմանության հիմնական թեորեմներն են՝

·        Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին։

·        Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին և այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են։

·        Երկու եռանկյուններ նման են, եթե մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի կողմերին։

Եռանկյան մակերես

Եռանկյան մակերեսի ամենատարածված հավասարումն է նրա կողմի և այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսը։

Եռանկյան մակերեսը հավասար է երկու կողմերի և նրանցով կազմված անկյան  սինուսի արտադրյալի կեսին:

Եռանկյան մակերեսը հավասար է կողմերի արտադրյալի և նրան արտագծած շրջանագծի շառավղի քառապատիկի հարաբերությանը:

Եռանկյան մակերեսի կարելի է հաշվել  նաև Հերոնի բանաձևով:

Քառանկյուններ

Քառակուսի

Քառակուսի է կոչվում այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

 Քառակուսու անկյունագծերը. հավասար են, փոխուղղահայաց են, հատման կետում կիսվում են,

կիսում են քառակուսու անկյունները:

 Քառակուսու մակերեսը հավասար է կողմի քառակուսուն:

Քառակուսու մակերեսը հավասար է անկյունագծի քառակուսու կեսին:

Շեղանկյուն

Այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, կոչվում է շեղանկյուն:

Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և կիսում են նրա անկյունները:

Շեղանկյան մակերեսը հավասար է նրա հիմքի և բարձրության արտադըրյալին:

Շեղանկյան մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի արտադրյալի կեսին:

Շեղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կողմի քառակուսու և անկյան սինուսի արտադրյալին:

Շեղանկյան բարձրությունը հավասար է նրան ներգծած շրջանագծի տրամագծին:

Ուղղանկյուն

Այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, կոչվում է ուղղանկյուն:

Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են:

Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա զուգահեռագիծը

ուղղանկյուն է:

Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է կից կողմերի արտադրյալին:

 Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծի քառակուսու և անկյունագծերի կազմած անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին:

                Զուգահեռագիծ

 Զուգահեռագիծ է կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ  առ զույգ զուգահեռ են:

Զուգահեռագծի անկյունների գումարը 360° է:

Զուգահեռագծի որևէ կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:

 Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են: Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են:

 Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին:

Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար և զուգահեռ են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

 Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

 Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա հիմքի և բարձրության արտադրյալին:

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կից կողմերի և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին:

Սեղան

Սեղան է կոչվում այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը` ոչ: Զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր, իսկ մյուս կողմերը`կողմնային կողմեր:

 Սեղանը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա կողմնային կողմերը (սրունքները) հավասար են:

Հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են: Անկյունագծերը նույնպես հավասար են:

 Եթե սեղանի հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են, ապա սեղանը հավասարասրուն է:

Եթե սեղանի անկյունագծերը հավասար են, ապա սեղանը հավասարասրուն է:

Շրջանագծին ներգծած սեղանը հավասարասրուն է:

 Սեղանը, որի անկյուններից մեկն ուղիղ է, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան:

 Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է սեղանի հիմքերին և հավասար է նրանց կիսագումարին:

Սեղանի մակերեսը հավասար է միջին գծի և բարձրության արտադրյալին:

Սեղանի մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին:

Եթե սեղանին հնարավոր է ներգծել շրջանագիծ, ապա այդ շրջանագծի շառավիղը հավասար է սեղանի բարձրության կեսին:

Շրջանագիծ, շրջան

Շրջանագիծ է կոչվում հարթության այն կետերից բաղկացած երկրաչափական պատկերը, որոնք տրված կետից (կենտրոնից) գտնվում են տրված հեռավորության (շառավիղ) վրա:

Շրջանագծի երկու կետերը միացնող հատվածը կոչվում է լար: Շրջանագծի կենտրոնով անցնող լարը կոչվում է տրամագիծ: Շրջանագծի երկու կետերի միջև ընկած մասը կոչվում է աղեղ:

 Ուղիղը, որը շրջանագծի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

 Շրջանագծի շոշափողն ուղղահայաց է շոշափման կետից տարված շառավղին:

 Եթե ուղիղն անցնում է շառավղի` շրջանագծի վրա գտնվող ծայրակետով և ուղղահայաց է այդ շառավղին, ապա այն շոշափող է:

Միևնույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածները հավասար են և կազմում են հավասար անկյուններ այդ կետով և շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղղի հետ:

 Լարին ուղղահայաց տրամագիծը (շառավիղը) կիսում է այդ լարը և նրանով ձգված աղեղը:

 Այն անկյունը, որի գագաթը շրջանագծի կենտրոնն է, կոչվում է կենտրոնական անկյուն:

 Շրջանագծի աղեղի աստիճանային չափը այն կենտրոնական անկյան աստիճանային չափն է, որը հենված է այդ աղեղի վրա:

 Այն անկյունը, որի գագաթը գտնվում է շրջանագծի վրա, իսկ կողմերը հատում են շրջանագիծը, կոչվում է ներգծյալ անկյուն:

Ներգծյալ անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա հենված է:

Միևնույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունները հավասար են:

 Տրամագծի վրա հենված ներգծյալ անկյունը ուղիղ է:

Շրջանագծի զուգահեռ լարերի միջև պարփակված աղեղների աստիճանային չափերը հավասար են:

 Անկյունը, որի գագաթը շրջանագծից դուրս է, իսկ կողմերը հատում են շրջանագիծը, չափվում է հատողների մեջ պարփակված աղեղների կիսատարբերությամբ:

Հատվող լարերով կազմված անկյունը չափվում է նրանց անջատած աղեղների կիսագումարով:

 Շոշափողով և լարով կազմված անկյունը չափվում է նրանց մեջ պարփակված աղեղի կեսով:

 Եթե շրջանագծի երկու լարերը հատվում են, ապա լարերից մեկի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին:

 Երկու շրջանագծեր ունեն արտաքին շոշափում, եթե նրանք ունեն

միայն մեկ ընդհանուր կետ և կենտրոնները գտնվում են այդ կետի տարբեր կողմերում:

Արտաքին շոշափման դեպքում շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շրջանագծերի շառավիղների գումարին:

 Շրջանի այն մասը, որը սահմանափակված է աղեղով և աղեղի ծայրակետերը շրջանի կենտրոնին միացնող երկու շառավիղներով, կոչվում է սեկտոր:

Շրջանի այն մասը, որը սահմանափակված է աղեղով և աղեղի ծայրակետերը  միացնող լարով, կոչվում է սեգմենտ: